Komplexe Zahlen

Vielleicht kennst du die reellen Zahlen – die sind ja beliebt So wie 2 oder Minus ein Drittel oder Pi Aber was es bei reellen Zahlen leider nicht gibt Ist eine Zahl, die quadriert −1 ergibt Doch bevor man so 'ne Gleichung einfach gar nicht lösen kann Fangen wir an, mit dem, was man in Mathematik jederzeit kann Wir definieren einfach was und diese immerwährende Freiheit Nutzen wir und sagen: Es gibt jetzt eine imaginäre Einheit I und i² ist −1 Und vielleicht fragst du dich: Bitte wo soll das denn sein? Auf dem Zahlenstrahl ist doch gar kein Platz mehr für i! Ja, ich weiß. Weil i nämlich außerhalb liegt Aber nicht einzeln isoliert, denn wir müssen nicht nur i Sondern zum Rechnen auch noch Vielfache von i mit definieren Und wenn man mit reellen Zahlen jeweils addieren können soll Steht hier die Menge der komplexen Zahlen. Ist doch toll! Komplexe Zahlen sind definiert Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun OK. Bisher hat man nur eine Menge, aber dann Ist ja das Schöne daran, dass man hier auch rechnen kann Die Addition ist dabei jeweils so definiert Dass man die Real- und Imaginärteile jeweils addiert Okay. Und jetzt muss man sich mal überlegen Was sollte denn die Multiplikation hier ergeben? Nun ja: Wenn man hier wie gewohnt ausmultipliziert Wird im letzten Summanden ja das i quadriert Aber das soll -1 sein und so sieht man ein Die Multiplikation muss genau so hier sein Doch was ist, wenn man mit komplexen Zahlen dividiert? Nun: Da wird der Nenner erst komplex konjugiert Das heißt: Beim Imaginärteil wird das Vorzeichen gedreht Und wird der Bruch dann damit erweitert, dann steht Letzten Endes nur eine reelle Zahl im Nenner da Und somit ist die Division jetzt auch noch klar Komplexe Zahlen sind definiert Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun Aber leider kann man komplexe Zahlen nicht vergleichen! Doch um sowas wie die "Größe" anzugeben, kann es manchmal reichen Den Betrag zu nehmen und das ist Die Entfernung bis zur Null und diese misst Man im rechtwinkligen Dreieck mit Real- und Imaginärteilen Als Wurzel aus der Summe der Quadrate der beiden Und genau so ist der Betrag definiert und ich seh gleich Alle Zahlen mit dem gleichen Betrag liegen auf einem Kreis Und dessen Radius ist der Betrag Und wenn ich dazu auch noch den Winkel hab Der sich dann hier mit der Achse des Realteils ergibt Dann weiß ich ja genau, wo die Zahl dann liegt Und genau diese beiden Angaben Von Radius und Winkel sind die Polarkoordinaten Wo der Radius streckt und der Winkel rotiert Soweit alles gecheckt und im Kopf notiert? Komplexe Zahlen sind definiert Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun Und übrigens kann man auch vieles bildlich sehen Die Addition kann man zum Beispiel als Verschiebung verstehen Oder die Zahlen so wie Vektoren im R² bequem Hier als Pfeile aneinander setzen – würde auch gehen Und die Multiplikation ist dann auch ganz nett Man fixiert die 0 und schiebt die 1 aufs z Und in Polarkoordinaten sieht man, was hier passiert Beim Radius wird multipliziert, aber bei beim Winkel: Addiert! Hier wird aus "Mal" quasi "Plus" gemacht Genau das, was die Exponentialfunktion macht Setzt man i mal phi nämlich in diese ein Wird das mit Betrag 1 genau der Winkel phi sein Und mit dem Radius skaliert können wir die Polarform angeben Und zum Schluss würde ich jetzt e hoch i mal Pi noch nehmen Denn Pi ist ein voller Winkel und deswegen steht Man hier bei −1. Die Eulersche Identität Komplexe Zahlen sind definiert Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun